Liquidity Concentration

DEX 에 예치된 유동성이 어떻게 스왑에 활용되는지를 이해하고, 유동성을 특정 가격 구간에 집중시킨다는 것이 어떤 의미인지를 이해해보겠습니다.

DEX 유동성의 가격구간별 분포

가격 P = (Y/X)^0.5 라고 정의해보겠습니다.

트레이더가 X 토큰을 팔아서 Y 토큰을 구매하게 된다면 풀의 가격이 내려가고, 트레이더가 Y 토큰을 팔아서 X 토큰을 구매하게 된다면 풀의 가격이 올라가게 됩니다.

이를 다르게 표현하자면, 가격이 내려가는 방향의 거래가 발생할 때 풀은 트레이더로부터 X 토큰을 받고 Y 토큰을 줘야 하며, 가격이 올라가는 방향의 거래가 발생할 때 풀은 트레이더로부터 Y 토큰을 받고 X 토큰을 줘야 합니다.

따라서, 풀은 현재 가격(Pc)으로부터 가격이 내려가는 방향(Pc→Pa)의 거래를 처리하기 위해 Y토큰이 필요하며, 가격이 올라가는 방향(Pc→Pb)의 거래를 처리하기 위해 X 토큰이 필요합니다.

이는 통상적인 주식 거래에 있어서 “현재 시장가보다 낮은 가격에 매수 주문을 걸기 위해 현금(≈Y 토큰)을 예치" 하고 “현재 시장가보다 높은 가격에 매도 주문을 걸기 위해 주식(≈X 토큰)을 예치" 하는 것과 유사한 방향이라고 이해해도 좋습니다.

Liquidity Concentration

위의 그래프를 토대로 주어진 가격 범위에 유동성을 공급하기 위해 필요한 X, Y 토큰의 수량은 아래와 같이 도출할 수 있습니다.

$$amountY = L \cdot (P_c - P_a) \\ amountX = L \cdot (\frac{1}{P_c} - \frac{1}{P_b})$$

위 식을 토대로 유니스왑 V2 방식으로 전체 가격 구간(0~∞)에 대해 L 만큼의 유동성을 공급하기 위해 필요한 X, Y 토큰의 수량을 구해보자면 아래와 같습니다.

$$amountY_{full range} = L \cdot (P_c - 0) = L P_c\\ amountX_{full range} = L \cdot (\frac{1}{P_c} - \frac{1}{\infty}) = \frac{L}{P_c}$$

하지만 앞의 장(Lazy Liquidity)에서도 언급했듯이 실제 두 토큰의 가격이 0에서 무한대까지 변하는 경우는 극히 예외적인 경우를 제외하고는 없습니다. 만일 두 토큰의 가격이 현재 가격을 기준으로 50%~200%(-50% 또는 +100%) 사이에서 변화한다면, 전체 가격 구간에 공급된 L 크기의 유동성 중 얼만큼의 유동성이 실제 스왑에 사용될까요? 아래의 식을 통해 알아보겠습니다.

$$amountY_{50\% \sim 100\%} = L \cdot (P_c - \frac{1}{\sqrt 2} P_c) = \frac{2 -\sqrt2}{2} LP_c \simeq 0.29 * amountY_{fullrange} \\ amountX_{100\% \sim 200\%} = L \cdot (\frac{1}{P_c} - \frac{1}{\sqrt 2P_c} ) = \frac{2 -\sqrt2}{2} \frac{L}{P_c} \simeq 0.29 * amountX_{fullrange}$$

가격이 현재 가격에서 50%~200% 사이에서 변화한다면 공급된 유동성 중 약 29%의 유동성만 실제 스왑에 사용되고(Active Liquidity), 나머지 71%의 유동성은 스왑에 사용되지 않는 게으른 유동성(Lazy Liquidity)으로 존재하게 됩니다.

이를 바꿔서 이야기하자면 아래와 같이 이해해볼 수 있습니다.

• V3 방식으로 50%~200% 가격 구간에 집중해서 유동성을 공급했더라면, V2 방식 대비 29%의 유동성만 공급해도 똑같은 효과를 기대할 수 있습니다.

• V3 방식으로 50%~200% 가격 구간에 집중해서 공급된 유동성은 V2 방식 대비 3.41배($\frac{1}{29\%}$)의 효과를 발휘합니다.

Concentration Ratio

유동성을 특정 가격구간에 집중하는 것을 통해 V2 방식의 유동성 공급 대비 올라가는 효율성을 나타내는 숫자를 Concentration Ratio 라고 부르도록 하겠습니다(서비스 UI 에서는 유저의 이해를 돕기 위해 수수료 부스트(Fee Boost) 라는 용어를 사용했습니다. Fee Boost = Concentration Ratio). Concentration Ratio 는 유동성을 공급하는 가격구간이 보다 집중될 수록 올라가며, 아래와 같은 수식으로 표현할 수 있습니다.

• reference : uniswapv3#capital-efficiency

$$Concentration Ratio = \frac{1}{1-{\frac{P_l}{P_u}^{0.25}}}$$

가격 범위 별 Concentration Ratio는 다음과 같습니다.

Price Range	Concentration Ratio
Full Range	1.00
10% ~ 1,000%	1.46
25% ~ 400%	2.00
50% ~ 200%	3.41
90% ~ 111%	21.49
95% ~ 105%	41.49